PERMUTASI dan KOMBINASI

Untuk dapat menentukan peluang kejadian, maka kita harus dapat menentukan banyak cara atau banyak kemungkinan kejadian dapat terjadi. Untuk itu selain mempelajari Kaidah Pencacahan sangat penting unutuk memahami tentang PERMUTASI dan KOMBINASI.

Sebelum kita mempelajari perbedaan mendasar antata permutasi dan kombinasi, terlebih dahulu kita mengenal Notasi Faktorial.

a. Notasi Faktorial 

Apakah kalian sudah mengenal notasi faktorial?

Notasi faktorial dilambangkan dengan tanda “ ! “. 

Misalkan kita akan menghitung hasil dari 4! (empat faktorial).

Nilai dari 4! Dapat dihitung sebagai 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa notasi faktorial adalah susunan perkalian objek dalam urutan berhingga. sebagai misal untuk masing-masing bilangan bulat positif n, maka :

n! = 𝑛∙(𝑛−1)x(𝑛−2)...3x2x1

Demikian juga perlu diketahui bahwa : 0! = 1.

Jika kalian sudah memahaminya, kita akan lanjut ke materi berikutnya yaitu mengenai permutasi dan kombinasi.

1. PERMUTASI

Permutasi dapat diartikan sebagai aturan pencacahan/penyusunan dengan memperhatikan urutan objek.

Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan 𝑟 ≤ 𝑛, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah :

sedangkan permutasi dengan r unsur yang sama dapat dinyatakan sebagai :

Adapun permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar, misal :

Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:

abcdefgh, bcdefgha, cdefghab, defghabc, efghabcd, fghabcde, ghabcdef,

habcdefg

Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.

abcdefgh

--------

Bagian yang dipermutasikanDengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak (n-1)!

2. KOMBINASI

Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya.

Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan 𝑟 ≤ 𝑛, banyaknya kombinasi n objek yang diambil 𝑟 objek adalah

 

MEMBEDAKAN PERMUTASI dan KOMBINASI

Sebelumnya perhatikan permasalahan berikut ini !

Permasalahan 1

Dalam suatu lomba yang diikuti oleh 15 peserta akan diambil juara 1, juara 2, dan juara 3. Berapa banyaknya kemungkinan susunan pemenang?

Permasalahan 2

Dalam suatu kelas yang terdiri dari 12 siswa akan dikirimkan delegasi yang terdiri dari 3 orang. Berapa banyak susunan delegasi yang mungkin?

Dari dua permasalahan tersebut, dapatkah kalian membedakan manakah permasalahan yang menerapkan konsep permutasi atau kombinasi untuk menyelesaikaanya?

Pada permasalahan pertama, konsep yang digunakan adalah konsep permutasi.

Mengapa menggunakan konsep permutasi?

Karena pada permasalahan tersebut memperhatikan urutan, yaitu juara 1, juara 2, dan juara 3.

Sedangkan pada permasalahan dua kita dapat menyelesaikannya dengan konsep kombinasi karena permasalahan tersebut penyusunannya tidak memperhatikan urutan.

Selanjutnya akan diberikan contoh penerapan permutasi dan kombinasi.

Permutasi dan Kombinasi dalam Kehidupan Sehari-hari

Permutasi dan kombinasi sering kita terapkan pada kehidupan sehari-hari.

Misalkan saat kita menyusun telur dalam suatu tempat. Jika kita memiliki 10 butir telur dan 5 tempat/wadah, berapa banyak susunan berbeda yang mungkin?

Selain itu, konsep permutasi dan kombinasi dapat diterapkan dalam permasalahan mengenai susunan tempat duduk dan lain sebagainya.

Lebih lanjut, dengan menggunakan konsep permutasi dan kombinasi, kalian akan dapat menentukan peluang suatu kejadian untuk memprediksi/memperkirakan kejadian yang mungkin di masa mendatang.

Nah, apakah kalian sudah menemukan perbedaan mendasar dari permutasi dan kombinasi? 

silakan simak video berikut ini dan berikan kesimpulanmu!

Untuk lebih jelasnya silakan simak video berikut ini!